Видеоурок «Степень с рациональным показателем» содержит наглядный учебный материал для ведения урока по данной теме. В видеоуроке содержится информация о понятии степени с рациональным показателем, свойства, таких степеней, а также примеры, описывающие применение учебного материала для решения практических задач. Задача данного видеоурока - наглядно и понятно представить учебный материал, облегчить его освоение и запоминание учениками, формировать умение решать задачи с использованием изученных понятий.

Основные преимущества видеоурока - возможность производить наглядно преобразования и вычисления, возможность использования анимационных эффектов для улучшения эффективности обучения. Голосовое сопровождение помогает развивать правильную математическую речь, а также дает возможность заменить объяснение учителя, освобождая его для проведения индивидуальной работы.

Видеоурок начинается с представления темы. Связывая изучения новой темы с ранее изученным материалом, предлагается вспомнить, что n √aиначе обозначается a 1/n для натурального n и положительного a. Данное представление корня n-степени отображается на экране. Далее предлагается рассмотреть, что значит выражение a m/n , в котором a - положительное число, а m/n - некоторая дробь. Дается выделенное в рамке определение степени с рациональным показателем как a m/n = n √a m . При этом отмечено, что n может быть натуральным числом, а m - целым.

После определения степени с рациональным показателем ее смысл раскрывается на примерах: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Также демонстрируется пример, в котором степень, представленная десятичной дробью, преобразуется в обычную дробь, чтобы быть представленной в виде корня: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицательным значением степени: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Отдельно указывается особенность частного случая, когда основание степени - нуль. Отмечено, что данная степень имеет смысл только с положительным дробным показателем. В этом случае ее значение равно нулю: 0 m/n =0.

Отмечена еще одна особенность степени с рациональным показателем - то, что степень с дробным показателем не может рассматриваться с дробным показателем. Приведены примеры некорректной записи степени: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Далее в видеоуроке рассматриваются свойства степени с рациональным показателем. Замечено, что свойства степени с целым показателем будут также справедливы и для степени с рациональным показателем. Предлагается вспомнить перечень свойств, которые также справедливы в данном случае:

  1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: a p a q =a p+q .
  2. Деление степеней с одинаковыми основаниями сводится к степени с данным основанием и разностью показателей степеней: a p:a q =a p-q .
  3. Если возвести степень в некоторую степень, то в итоге получаем степень с данным основанием и произведением показателей: (a p) q =a pq .

Все данные свойства справедливы для степеней с рациональными показателями p, q и положительным основанием a>0. Также верными остаются преобразования степени при раскрытии скобок:

  1. (ab) p =a p b p - возведение в некоторую степень с рациональным показателем произведения двух чисел сводится к произведению чисел, каждое из которых возведено в данную степень.
  2. (a/b) p =a p /b p - возведение в степень с рациональным показателем дроби сводится к дроби, числитель и знаменатель которой возведены в данную степень.

В видеоуроке рассматривается решение примеров, в которых используются рассмотренные свойства степеней с рациональным показателем. В первом примере предлагается найти значение выражения, в котором содержатся переменные х в дробной степени: (х 1/6 -8) 2 -16х 1/6 (х -1/6 -1). Несмотря на сложность выражения, с применением свойств степеней оно решается достаточно просто. Решение задания начинается с упрощения выражения, в котором используется правило возведения степени с рациональным показателем в степень, а также перемножение степеней с одинаковым основанием. После подстановки заданного значения х=8 в упрощенное выражение х 1/3 +48, легко получить значение - 50.

Во втором примере требуется сократить дробь, числитель и знаменатель которой содержать степени с рациональным показателем. Используя свойства степени, выделяем из разности множитель х 1/3 , который затем сокращается в числителе и знаменателе, а используя формулу разности квадратов, на множители раскладывается числитель, что дает еще сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Итогом таких преобразований становится короткая дробь х 1/4 +3.

Видеоурок «Степень с рациональным показателем» может быть использован вместо объяснения учителем новой темы урока. Также данное пособие содержит достаточно полную информацию для самостоятельного изучения учеником. Материал может быть полезен и при дистанционном обучении.

Выражением вида a (m/n) , где n - некоторое натуральное число, m - некоторое целое число и основание степени а больше нуля, называется степень с дробным показателем. Причем верным является следующее равенство. n√(a m) = a (m/n) .

Как мы уже знаем, числа вида m/n, где n - некоторое натуральное число, а m - некоторое целое число, называют дробными или рациональными числами. Из всего вышесказанного получаем, что степень определена, для любого рационального показателя степени и любого положительного основания степени.

Для любых рациональных чисел p,q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

  • 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
  • 2. (a p):(b q) = a (p-q)
  • 3. (a p) q = a (p*q)
  • 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
  • 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Данные свойства широко используются при преобразовании различных выражений, где содержатся степени с дробными показателями.

Примеры преобразований выражений, содержащих степень с дробным показателем

Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих применение этих свойств для преобразования выражений.

1. Вычислить 7 (1/4) * 7 (3/4) .

  • 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. Вычислить 9 (2/3) : 9 (1/6) .

  • 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Вычислить (16 (1/3)) (9/4) .

  • (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. Вычислить 24 (2/3) .

  • 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Вычислить (8/27) (1/3) .

  • (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. Упростить выражение ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b)

  • ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3)))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Вычислить (25 (1/5))*(125 (1/5)).

  • (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Упростить выражение

  • (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/(a (2/3) + a (-1/3)).
  • (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/(a (2/3) + a (-1/3)) =
  • = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1-a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
  • = 1 +a - (1-a) = 2*a.

Как видите используя эти свойства, можно значительно упростить некоторые выражения, которые содержат степени с дробными показателями.

Учитель математики: Нашкенова А.Н. Майбалыкской средней школы План-конспект урока по теме «Степень с рациональным показателем»

(алгебра, 11 класс)

Цели урока:

    Расширить и углубить знания учащихся о степени числа; ознакомление учащихся с понятием степени с рациональным показателем и их свойствами;

    Выработать знания, умения и навыки вычислять значения выражений путем использования свойств;

    Продолжить работу по развитию умений анализировать, сравнивать, выделять главное, определять и объяснять понятия;

    Формировать коммуникативные компетентности, умения аргументировать свои действия, воспитывать самостоятельность, трудолюбие.

Оборудование: учебник, раздаточные карточки, ноутбук, презентационный материал Power Point ;

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

План урока:

1.Орг. момент. - 1 мин.

2.Мотивация урока.- 2мин

3.Актуализация опорных знаний. - 5 мин.

4.Изучение нового материала. - 15 мин.

5.Физкультминутка - 1 мин.

6.Первичное закрепление изученного материала - 10 мин

7.Самостоятельная работа. - 7 мин.

8.Домашнее задание. - 2 мин.

9.Рефлексия – 1 мин.

10.Итог урока. – 1 мин.

Ход урока

1. Организационный момент

Эмоциональный настрой на урок.

Желаю работать, желаю

трудиться,
Желаю успехов сегодня добиться.
Ведь в будущем всё это вам

пригодится.
И легче в дальнейшем вам будет

учиться (Слайд №1)

2.Мотивация урока

Действия возведения в степень и извлечения корня, как и четыре арифметических действий, появились в результате практической потребности. Так, наряду с задачей вычисления площади квадрата, сторона а которого известна, встречалась обратная задача: «Какую длину должна иметь сторона квадрата, чтобы его площадь равнялась в. В 14-15 веках в Западной Европе появляются банки, которые давали деньги в рост князьям и купцам, финансировали за большие проценты дальние путешествия и завоевательные походы. Чтобы облегчить расчеты сложных процентов составили таблицы, по которым сразу можно было узнать, какую сумму надо уплатить через п лет, если была взята взаймы сумма а по р % годовых. Уплачиваемая сумма выражается формулой : s = а(1 + ) п .Иногда деньги брались в долг ни на целое число лет, а например, на 2 года 6 месяцев. Если через 2.5 года сумма а обратиться в aq , то через следующие 2.5 лет она увеличиться еще в q раз и станет равной aq 2 . Через 5 лет: а=(1 + 5 , поэтому q 2 = (1 + 5 и значит q =

(Слайд 2) .

Так возникла идея степени с дробным показателем.

3.Актуализация опорных знаний.

Вопросы:

1.Что означает запись; а п

2. Что такое а ?

3. Что такое п ?

4. а -п =?

5.Запишите в тетради свойства степени с целым показателем.

6.Какие числа относятся к натуральным, целым, рациональным? Изобразить их с помощью кругов Эйлера. (Слайд 3)

Ответы: 1. Степень с целым показателем

2. а- основание

3. п- показатель степени

4. а -п =

5. Свойства степени с целым показателем :

a m *a n = a (m+n) ;

a m : a n = a (m-n) ( при a не равном нулю );

(a m ) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n )/(b n ) (при b не равном нулю);

a 1 = a;

a 0 = 1 (при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n.

6.1,2,3, …- положительные числа – множество натуральные числа – N

0,-1,-2,-3,.. число О и отрицательные числа –множество целые числа - Z

Q , – дробные числа (отрицательные и положительные) – множество рациональные числа - Q Z

N

Круги Эйлера (слайд 4)

4. Изучение нового материала.

Пусть. а - неотрицательное число и требуется возвести его в дробную степень . Вам известно равенство (а m ) n = а m n (слайд 4) , т.е. правило возведения степени с степень. В приведенном равенстве предположим, что m = , тогда получим: (а ) п = а =а (слайд 4)

Отсюда можно заключить, что является а корнем п - й степени от числа а , т.е. а = . из этого следует, что (а п ) = п =а (слайд 4).

Следовательно а =(а ) m =(а m ) = m . ( слайд 4 ).

Таким образом, имеет место следующее равенство: а = m (слайд 4)

Определение: степенью неотрицательного числа а с рациональным показателем , где - несократимая дробь, называется значение корня п –й степени из числа а т .

Следовательно, по определению а = m (слайд 5)

Разберем пример 1 : Напишите степень с рациональным показателем в виде корня п-й степени:

1)5 2)3,7 -0,7 3) ( ) (слайд 6) Решение: 1) 5 = 2 = 2) 3,7 -0,7 = -7 3) ( ) = ( слайд 7) Над степенями с рациональным показателем можно производить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня по тем же правилам, как степенями с целым показателями и степенями с одинаковыми основаниями: а = а + а = а - (а ) = а * (а*в) = а * в ) = а / в где п, q – натуральные, т, р- целые числа. (слайд 8) 5.Физкультминутка

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

И снова в путь! (слайд 9)

6.Первичное закрепление изученного материала:

Страница 51, № 90, № 91 – выполнить в тетради самостоятельно,

с проверкой у доски

7.Самостоятельная работа

Вариант 1

(Слайд 10)

Вариант 1

(Слайд 11)

Выполнить самостоятельную работу с взаимопроверкой.

Ответы:

Вариант 1

(Слайд 12)

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с понятием степени с рациональным показателем и научились записывать в виде корней, применять основные свойства степеней при нахождении значений числовых выражений. 8.Домашнее задание: №92,№ 93 Информация о домашнем задании

9. Рефлексия

(Слайд 13)

10.Итог урока:

В чем сходство и различие степени с целым показателем и степени с дробным показателем? (сходство: все свойства степени с целым показателем имеют место и для степени с рациональным показателем;

различие: степени)

Перечислите свойства степени с рациональным показателем

Урок сегодня завершён,
Дружней вас не сыскать.
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
Спасибо за урок! (слайд 14)

Выражение a n (степень с целым показателем) будет определено во всех случаях, за исключением случая, когда a = 0 и при этом n меньше либо равно нулю.

Свойства степеней

Основные свойства степеней с целым показателем:

a m *a n = a (m+n) ;

a m: a n = a (m-n) (при a не равном нулю);

(a m) n = a (m*n) ;

(a*b) n = a n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (при b не равном нулю);

a 0 = 1 (при a не равном нулю);

Эти свойства будут справедливы для любых чисел a, b и любых целых чисел m и n. Стоит отметить также следующее свойство:

Если m>n, то a m > a n , при a>1 и a m

Можно обобщить понятие степени числа на случаи, когда в качестве показателя степени выступают рациональные числа. При этом хотелось бы, чтобы выполнялись все выше перечисленные свойства или хотя бы часть из них.

Например, при выполнении свойства (a m) n = a (m*n) выполнялось бы следующее равенство:

(a (m/n)) n = a m .

Это равенство означает, что число a (m/n) должно являться корнем n-ой степени из числа a m .

Степенью некоторого числа a (большего нуля) с рациональным показателем r = (m/n), где m - некоторое целое число, n - некоторое натурально число большее единицы, называется число n√(a m) . Исходя из определения: a (m/n) = n√(a m).

Для всех положительных r будет определена степень числа нуль. По определению 0 r = 0. Отметим также, что при любом целом, любых натуральных m и n, и положительном а верно следующее равенство: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Например: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12) .

Из определения степени с рациональным показателем напрямую следует тот факт, что для любого положительного а и любого рационального r число a r будет положительным .

Основные свойства степени с рациональным показателем

Для любых рациональных чисел p, q и любых a>0 и b>0 верны следующие равенства:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p):(b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Данные свойства вытекают из свойств корней. Все данные свойства доказываются аналогичным способом, поэтому ограничимся доказательством только одного из них, например, первого (a p)*(a q) = a (p + q) .

Пусть p = m/n, a q = k/l, где n, l - некоторые натуральные числа, а m, k - некоторые целые числа. Тогда нужно доказать, что:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Сначала приведем дроби m/n k/l к общему знаменателю. Получим дроби (m*l)/(n*l) и (k*n)/(n*l). Перепишем левую часть равенства с помощью этих обозначений и получим:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l))) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m/n)+(k/l)) .

Урок №30 (Алгебра и начала анализа, 11 класс)

Тема урока: Степень с рациональным показателем.

Цель урока: 1 . Расширить понятие степени, дать понятие степени с рациональным показателем; научить переводить степень с рациональным показателем в корень и наоборот; вычислять степени с рациональным показателем.

2. Развитие памяти, мышления.

3. Формирование активности .

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть

из математики степени, и он увидит,

Что без них далеко не уедешь» М.В.Ломоносов

Ход урока.

I. Сообщение темы и цели урока.

II. Повторение и закрепление пройденного материала .

1. Разбор нерешенных домашних примеров.

2. Контролирующая самостоятельная работа:

Вариант 1.

1. Решить уравнение: √(2х – 1) = 3х – 12

2. Решить неравенство: √(3х – 2) ≥ 4 – х

Вариант 2.

1. Решить уравнение: 3 – 2х = √(7х + 32)

2. Решить неравенство: √(3х + 1) ≥ х – 1

III. Изучение нового материала.

1 . Вспомним расширение понятия чисел: N є Z є Q є R.

Это лучше представить в виде приведенной ниже схемы:

Натуральные (N)

Ноль

Неотрицательные числа

Отрицательные числа

Дробные числа

Целые числа (Z)

Иррациональные

Рациональные (Q)

Действительные числа

2. В младших классах было определено понятие степени числа с целым показателем. а) Вспомните определение степени а) с натуральным, б) с целым отрицательным, в) с нулевым показателем. Подчеркнуть, что выражение a n имеет смысл при всех целых n и любых значениях а, кроме а=0 и n≤0.

б) Перечислите свойства степеней с целым показателем.

3 . Устная работа.

1). Вычислить: 1 -5 ; 4 -3 ; (-10) 0 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Запишите в виде степени с отрицательным показателем:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/х 7 ; 1/а 9 .

3).Сравните с единицей: 12 -3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Теперь необходимо понять смысл выражений 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 и т.д. Для этого надо таким образом обобщить понятие степени, чтобы выполнялись все перечисленные свойства степеней. Рассмотрим равенство (a m/n ) n = а m . Тогда по определению корня п-й степени разумно считать, что a m/n будет корнем п-й степени из числа a m . Дается определение степени с рациональным показателем.

5. Рассмотреть примеры 1 и 2 из учебника.

6. Сделаем ряд замечаний, связанных с понятием степени с рациональным показателем.

Замечание 1 : Для любого а>0 и рационального числа r число a r >0

Замечание 2 : По основному свойству дробей рациональное число m/n можно записать в виде mk/nk для любого натурального числа k. Тогда значение степени не зависит от формы записи рационального числа, так как a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Замечание 3 : При а Поясним это на примере. Рассмотрим (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. С другой стороны: 1/3 = 2/6 и тогда (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Получаем противоречие.